Mathematik und Statistik MS (L01)

Aufgabe 1

Lösen Sie das folgende Integral!

Aufgabe 2

Optimieren Sie einen Zylinder so, daß die geringste mögliche Materialmenge benötigt wird.
Der Inhalt sei: 1 Liter oder V₀.

Aufgabe 3

Bilden Sie für:
f(x) = sinh x = die Umkehrfunktion ( Sinus Hyperbolicus )!

Aufgabe 4

Geben Sie für: z = -2i die Exponential- und die trigonometrische Darstellung an!

Aufgabe 5

Gegeben sei im R³ ein Vektor: .
Finden Sie zwei weitere Vektoren: a₂ und a₃ so, daß diese wechselseitig orthogonal sind und nicht den Nullvektor 0 darstellen.

Aufgabe 6

Gegeben seien die Vektoren:
.
Ist der Vektor b linear abhängig oder unabhängig ?

Aufgabe 7

Bestimmen Sie den Rang von A.

Aufgabe 8

Gegeben sei: A*x = b mit:
   .

Aufgabe 9

Lösen Sie mittels Pivotisierung A*x = b.
  

Aufgabe 10

Geben Sie die McLaurin - Reihe an von:
f(x) = exp(-x)!

Aufgabe 11

Geben Sie die McLaurin - Reihe an von:
f(x) = cos(x) !

Aufgabe 12

Geben Sie die McLaurin - Reihe an von:
f(x) = exp(+ x)*sin(x) durch:
a) direkte Berechnung und
b) Multiplikation der McLaurin - Reihen von: exp(+ x) und: sin(x)!

Aufgabe 13

Zeigen Sie, daß bei der Fourierreihe die Integration für: a_o das: "sin"-Integral den Wert "0" ergibt!

Aufgabe 14

Entwickeln Sie: P₃(x)=x³-x²+x-1 als Taylorreihe um den Wert: x₀=+1 und zeigen Sie durch Multiplikation, daß sich wieder das Polynom ergibt!

Aufgabe 15

Berechnen Sie für: f(x)=x² in [-;+] den Fourierkoeffizienten: a₀ !

Aufgabe 16

Gegeben sei der Vektor: v=(4;-2;-3;8) des vierdimensionalen Raumes. Berechnen Sie dessen Norm und geben Sie: v die Länge : 1 !

Aufgabe 17

Geben Sie zum Vektor: v=(4;-2;-3;8) zwei einfache weitere Vektoren an, die zu dem Vektor: v orthogonal sind !

Aufgabe 18

Berechnen Sie:
mit !
Begriffe der charakteristischen Gleichung und der Eigenwerte von: A !

Aufgabe 19

Berechnen Sie für: f(x)=x² in [-|+] den Fourierkoeffizienten: a_k !

Aufgabe 20

Berechnen Sie für: f(x)=x² in [-|+] den Fourierkoeffizienten: b_k !

Aufgabe 21

Geben Sie für: f(x)=x² in [-|+] dien Fourier-Reihe an !

Aufgabe 22

Gegeben seien drei Vektoren a₁, a₂ und a₃. Zeigen Sie, daß die nach Gram - Schmidt berechneten Vektoren u₁, u₂ und u₃ orthogonal sind und die Länge = Norm = " 1 " haben.

Aufgabe 23

Gegeben seien drei Vektoren a₁, a₂ und a₃. Orthonormieren Sie diese Vektoren nach Gram - Schmidt in der Reihenfolge: a₂, a₁ und a₃.

Aufgabe 24

Gegeben seien drei Vektoren a₁, a₂ und a₃. Orthonormieren Sie diese Vektoren nach Gram - Schmidt in der Reihenfolge: a₂, a₃, a₁ sowie in der Reihenfolge a₃, a₁, a₂.

Aufgabe 25

Lösen Sie das Bakterienbeispiel mit Probe: !

Aufgabe 26

Lösen Sie mit Probe: y''+3y'+2y=0 !

Aufgabe 27

Lösen Sie das Bakterienbeispiel mit der Anfangszahl von A = 1000 Bakterien zur Zeit: t = 0 . Wann beträgt die Bakterienzahl : A = 1000000 ?

Aufgabe 28

Lösen Sie das nachfolgende Gleichungssystem mit den 4 Ihnen bekannten Methoden ( G, P, D, A ):
I  x₁+x₂=2
II x₁-x₂=0
nachdem Sie den Rang ermittelt haben ! Beachten Sie die Zahl der notwendigen Rechenschritte!

Aufgabe 29

Berechnen Sie : X aus: A*X=E mit: Was ergibt: X*A = ?

Aufgabe 30

Berechnen Sie : A^-1 von: .

Aufgabe 31

Aufgabe 32

Aufgabe 33

Zeigen Sie, daß die Differentialgleichung: y'-Ay=-By²
(=Verhulst Gleichung = logistisches Gesetz des Bevölkerungswachstums = Bernoulli - Differentialgleichung) gelöst wird durch:.

Aufgabe 34

Ein Fleischer = Metzger = Schlachter stellt Wurst aus Rindfleisch und Schweinefleisch her (Rindfleisch enthält 80% Fleisch, 20% Fett und kostet 80 Euro pro Gewichtseinheit (GE); (Schweinefleisch enthält 68% Fleisch und 32% Fett und kostet 60 Euro pro GE.).
Der Meister möchte seine Kosten mit der Wurst minimieren, ohne daß der Fettanteil der Wurst größer als 25% wird.
Stellen Sie das zugehörige LOP auf!

Aufgabe 35

Optimieren Sie grafisch ( Maximum und Minimum ! ):

Aufgabe 36

Optimieren Sie mittels des SIMPLEX - Algorithmus zu einem Maximalwert:
!

Aufgabe 37

Berechnen Sie für:

die Lösung für:
mittels Integration!

Aufgabe 38

Gegeben sei:
. Wie sehen die Kurvenscharen aus?

Aufgabe 39

Lösen Sie

durch Integration. Wie lautet der Lösungsansatz in diesem Fall?

Aufgabe 40

Gegeben: Ein Fleischer = Metzger = Schlachter stellt Wurst aus Rindfleisch und aus Schweinefleisch her (Rindfleisch enthält 80% Fleisch und 20ä% Fett und kostet 80 Euro pro Gewichtseinheit (GE) ; Schweinefleisch enthält 68% Fleisch und 32% Fett und kostet 60 Euro pro GE.). Der Meister möchte seine Kosten mit der Wurst minimieren, ohne daß der Fettanteil der Wurst größer als 25% wird.
Lösen Sie die Aufgabe grafisch und errechnen Sie damit den Wert der Zielfunktion!

Aufgabe 41

Wie Aufgabe 40, jedoch lösen Sie die Aufgabe mit analytischen Methoden.

Aufgabe 42

Geben Sie das Minimum an und skizzieren Sie:
.

Aufgabe 43

Lösen Sie das nachfolgende ganzzahlige Maximierungsprogramm grafisch mit den Angaben:
.

Aufgabe 44

Eine Firma verteile 16 Tonnen (t) Material; in Lager 1=L1: 10t; L2: 6t auf drei (3) Baustellen = B1: 5t; B2: 7t; B3: 4t.
Die Transportkosten von den beiden Lagern zu den drei Baustellen seien wie folgt bekannt: L1 => B1: 7 Euro/t; L1 => B2: 5 Euro/t; L1 => B3: 8 Euro/t; L2 => B1: 2 Euro/t; L2 => B2: 3 Euro/t; L2 => B3: 4 Euro/t.
Stellen Sie den Ausgangspunkt der Transport - Matrix auf!

Aufgabe 45

Geben Sie eine von vielen möglichen Basislösungen zur nachfolgenden Aufgabe an und berechnen Sie deren Kosten: (Eine Firma verteile 16 Tonnen (t) Material; in Lager 1= L1: 10t; L2: 6t auf drei (3) Baustellen = B1: 5t; B2: 7t; B3: 4t. Die Transportkosten von den beiden Lagern zu den drei Baustellen seien wie folgt bekannt: L1 => B1: 7 Euro/t; L1 => B2: 5 Euro/t; L1 => B3: 8 Euro/t; L2 => B1: 2 Euro/t; L2 => B2: 3 Euro/t; L2 => B3: 4 Euro/t.)

Aufgabe 46

Gegeben sei im Dreidimensionalen:
.
Beschreiben und skizzieren Sie dieses Gebilde!

Aufgabe 47

Zeigen Sie, daß die Ebene: 2x-y-2z=10 das Gebilde:

in nur einem Punkt berührt und damit Tangentenebene ist! (Was ist das für ein Gebilde?)

Aufgabe 48

Lösen Sie das Rechteckproblem: F=ab als Extremalaufgabe konventionell und mittels der Lagrange - Multiplikatoren!

Aufgabe 49

Beschreiben Sie im Dreidimensionalen das Gebilde:
.

Aufgabe 50

Für welche Werte von: k hat die gegebene Funktion in: P(0;0) ein relatives Minimum? Wie groß ist dessen Wert? Mit: .

Aufgabe 51

Berechnen Sie alle Extremwerte von: .

Aufgabe 52

Verteilen Sie die Güter nach der Nordwest - Eckenregel! (Eine Firma verteile 16 Tonnen (t) Material; in Lager 1= L1: 10t; L2: 6t auf drei (3) Baustellen = B1: 5t; B2: 7t; B3: 4t. Die Transportkosten von den beiden Lagern zu den drei Baustellen seien wie folgt bekannt: L1 => B1: 7 Euro/t; L1 => B2: 5 Euro/t; L1 => => B3: 8 Euro/t; L2 => B1: 2 Euro/t; L2 => B2: 3 Euro/t; L2 => B3: 4 Euro/t.)

Aufgabe 53

Optimieren Sie die nach der Nordwest - Eckenregel verteilten Güter mittels der Vogelschen Methode! (Eine Firma verteile 16 Tonnen (t) Material; in Lager 1= L1: 10t; L2: 6t auf drei (3) Baustellen = B1: 5t; B2: 7t; B3: 4t. Die Transportkosten von den beiden Lagern zu den drei Baustellen seien wie folgt bekannt: L1 => B1: 7 Euro/t; L1 => B2: 5 Euro/t; L1 => B3: 8 Euro/t; L2 => B1: 2 Euro/t; L2 => B2: 3 Euro/t; L2 => B3: 4 Euro/t.)

Aufgabe 54

Berechnen Sie das Optimum und den Start der nach der Nordwest - Eckenregel verteilten Güter mittels der Vogel'schen Methode! Für:
a) Das Beispiel der Vorlesung; und:
b) (Eine Firma verteile 16 Tonnen (t) Material; in Lager 1= L1: 10t; L2: 6t auf drei (3) Baustellen = B1: 5t; B2: 7t; B3: 4t. Die Transportkosten von den beiden Lagern zu den drei Baustellen seien wie folgt bekannt: L1 => B1: 7 Euro/t; L1 => B2: 5 Euro/t; L1 => B3: 8 Euro/t; L2 => B1: 2 Euro/t; L2 => B2: 3 Euro/t; L2 => B3: 4 Euro/t.)

Aufgabe 55

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktion:
.

Aufgabe 56

Geben Sie die Extremwerte an von: .

Aufgabe 57

Untersuchen Sie mittels Lagrange auf Extremwerte: mit den Nebenbedingungen: !

Aufgabe 58

Gegeben sei ein Transportproblem mit Quellen und Senken wie folgt:

Geben Sie die Ausgangsbasislösung mittels der Nordwesteckenregel an !

Aufgabe 59

Gegeben sei ein Transportproblem mit Quellen und Senken wie folgt: Geben Sie die optimale Lösung an!

Aufgabe 60

Gegeben sei ein Transportproblem mit Quellen und Senken wie folgt: Geben Sie die anfänglichen und die optimalen Transportkosten an!

Aufgabe 61

Berechnen Sie die Bogenlänge im geschlossenen Intervall von (a;b) für die Funktion: f(x)=c und überprüfen Sie das Ergebnis elementar.

Aufgabe 62

Berechnen Sie die Bogenlänge im geschlossenen Intervall von (a;b) für die Funktion: f(x)=x und überprüfen Sie das Ergebnis elementar.

Aufgabe 63

Berechnen Sie mittels Integration den Umfang des Einheitskreises!

Aufgabe 64

Es gebe vier Einladungen an einem Tag, die Sie alle besuchen wollen: Wie viele Möglichkeiten haben Sie, diesen vier Einladungen nacheinander zu folgen (ohne auf einer Veranstaltung zu bleiben)?

Aufgabe 65

In den PC's werden die Buchstaben des Alphabets binär codiert = verschlüsselt, so daß jedem Buchstaben eine Folge der Binärzeichen (="0" oder "1") als Bitfolge zugeordnet wird. Wie viele Zeichen = Bits sind erforderlich, um alle 26 Buchstaben zu codieren?

Aufgabe 66

Es gebe vier Buslinien zwischen den Orten "A" und "B" und drei Buslinien zwischen den Orten "B" und "C". Auf wie viele verschiedene Arten kann mit dem Bus gereist werden:
a) Von "A" nach "C" über "B";
b) Eine Rundreise von "A" nach "C" über "B"?

Aufgabe 67

Eine Münze werde dreimal geworfen. Erläutern Sie mit diesen Würfen:
a) das Zufallsexperiment; b) das Elementarereignis; c) das zusammengesetzte Ereignis; d) den Ereignisraum und e) die Wahrscheinlichkeit an etlichen Beispielen !

Aufgabe 68

Eine Person besuche täglich drei Bekannte in: "a"; "b" oder: "c". Diese Person treffe zufällig zwischen 14 bis 16 Uhr am Bahnhof ein und nimmt dann den nächsten Zug nach: [...] Wie groß ist die Besuchswahrscheinlichkeit für die drei Bekannte in: "a"; "b" oder: "c", wenn es den folgenden Fahrplan gibt? [...]

Aufgabe 69

Geben Sie die korrekten Antworten für die Wahrscheinlichkeit bei beliebigen Ereignissen: "A" und: "B" an! Die Aussagen seien:
.

Aufgabe 70

Gegeben seien: n Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben unter den Voraussetzungen, daß das Geburtsjahr nicht zählt, daß das Jahr 365 Tage habe und daß die Geburtswahrscheinlichkeit im Jahr gleich ist? (Berechnen Sie ggf. einige Werte und finden Sie die empirischen Daten aus Ihrer Gruppe.)

Aufgabe 71

A gehe an den drei Seen: S1; S2; S3 mit der Wahrscheinlichkeit: P(Si)=1/3 ( i = 1,...,3 ) angeln. Die Wahrscheinlichkeiten, in einer Stunde einen Fisch zu fangen, seien an den drei Seen: [...] Nach einer Stunde sei tatsächlich ein Fisch gefangen; mit welcher Wahrscheinlichkeit aus dem See: S2?

Aufgabe 72

Eine Urne mit 10 roten und 5 grünen Kugeln sei gegeben. 4 rote und 1 grüne tragen noch ein Zeichen : "X". Eine Kugel werde mit diesem Zeichen: "X" gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß diese Kugel: rot ist!

Aufgabe 73

Mit einem roten und einem grünen Würfel soll die Wahrscheinlichkeit bei gleichzeitigem Würfeln angegeben werden, daß
a) die Augensumme wenigstens "3";
b) die Augensumme kleiner gleich "4" ist mit der Augenzahl auf dem roten Würfel von "2".

Aufgabe 74

Es werde mit einem Würfel 3-mal gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, daß die Augenzahl "1"
a) genau einmal; b) genau zweimal; c) genau dreimal; d) mindestens zweimal erscheint!

Aufgabe 75

Gegeben sei die Verteilungsfunktion:
.
Wie lautet die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Aufgabe 76

Gegeben sei grafisch eine Verteilungsfunktion; siehe Aufgabenstellung. Bestimmen Sie:
a) P ( 5 < X < 8 ); b) P (-1<X<9); c) P(X<=5); d) P(X=10); e) P(X=8)!

Aufgabe 77

Gegeben sei eine Dichtefunktion mit folgenden Werten:
.
a) Wie groß ist: "a" für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion?

Aufgabe 78

Gegeben sei eine Dichtefunktion mit: .
Wie groß ist "a", damit: f(x) eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen ist?

Aufgabe 79

Welche der folgenden Funktionen kann als Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen: X angesehen werden ?

Aufgabe 80

Die Zufallsvariable: X habe die folgende Verteilung mit: . Berechnen Sie: a) den Erwartungswert und b) die Varianz !

Aufgabe 81

Gegeben sei die Zufallsvariable: X mit der Dichtefunktion mit: ! Bestimmen Sie a ) die Verteilungsfunktion, b ) den Erwartungswert und c ) die Varianz !

Aufgabe 82

Eine Fahrt koste 60 Euro ( unabhängig von der Zahl der mitfahrenden Personen ). Die Personenzahl sei die unabhängige Zufallsvariable: X mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: ! a ) Wie viele Personen fahren im Schnitt mit? b ) Berechnen Sie den Erwartungswert von: Y der Kosten: Y pro Person und Fahrt !

Aufgabe 83

Für die unabhängigen Zufallsvariablen: X und: Y sollen gelten: E ( X ) = -5; VAR ( X ) = +2; und: E ( Y ) = +2; VAR ( Y ) = +7. a ) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von: Z = 3 X - Y; b ) Schätzen Sie mit Tschebyscheff die Wahrscheinlichkeit, mit der: Z Werte annimmt, die vom Erwartungswert um nicht mehr als : abweichen !

Aufgabe 84

Die in Tüten abgepackte Masse: m in ( Gramm = g ) von Zucker schwanke um den Soll - = Erwartungswert : mit der Standardabweichung: . Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Masse: m um weniger als: 60 g vom Sollwert abweicht ?

Aufgabe 85

Geben Sie an, auf welcher Skala die Merkmalsausprägungen geordnet werden können und ob diese häufbar sind: "Unfallursachen; Güteklassen von Hotels; Religionszugehörigkeit; Sparguthaben von Personen; Wertungsnoten beim Eiskunstlaufen; Kinderzahl von Frauen; Geburtsdatum" !

Aufgabe 86

Eine Münze werde 4x geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß "Zahl" : 1x; 2x; 3x auftritt ?

Aufgabe 87

Es werden : 8 Eier verschenkt, wovon : 2 bereits faul seien. Für ein Rührei werden: 3 Eier zufällig gegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Rührei ungenießbar ist ?

Aufgabe 88

Briefträger werden pro Woche poisonverteilt gebissen mit: . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß a) pro Woche 6 Bisse auftreten ? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß innerhalb von drei Wochen mehr als 8 Hundebisse erfolgen ?

Aufgabe 89

Die Stabilität von Kettengliedern sei normalverteilt mit: . Der Erwartungswert: soll mit der gegebenen Standardabweichung durch Produktionsänderungen so beeinflusst werden, daß maximal: 3 % der Kettenglieder eine Festigkeit kleiner als : 50 kg haben. Wie groß ist damit: ?

Aufgabe 90

Für die Kaufkraft einer Währung eines Landes werde für aufeinander folgende Jahre diese Werte ermittelt: "100"; "95"; "85"; "80"; "78"; "70" . Geben Sie den durchschnittlichen prozentualen jährlichen Kaufkraftschwund an !