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Mathematik und Statistik MS (L02) | |||
Aufgaben 1 bis 8 | Aufgaben 9 bis 16  | Hausaufgaben  |
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Aufgabe 1 In einer Kiste seien 10 weiße und 10 rote Socken. Wie viele Socken müssen herausgenommen werden, wenn garantiert zwei Gleichfarbige vorhanden sein sollen? Garantiert zwei weiße dabei sein sollen? Wie ändert sich die Antwort, wenn noch 10 schwarze Socken vorhanden wären? Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 2
Für jede natürliche Zahl: |
Aufgabe 3
Zeigen Sie mittels der Wahrheitstabelle: |
Aufgabe 4
Prüfen Sie den Wahrheitsgehalt der Aussagen: |
Aufgabe 5
Was ergibt: |
Aufgabe 6
Schreiben Sie als logische Aussagen: |
Aufgabe 7
Schätzen Sie: Mit welcher Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde (km/h) wachsen menschliche Fingernägel? |
Aufgabe 8 Schätzen Sie die Fläche des TFH Wildau - Geländes in der Friedrich - Engels - Straße! Messen Sie diese grob aus und begründen Sie Ihre Arbeit und Ihre Ergebnisse! Aufgabe und Lösung |
| Aufgaben 9 bis 16 | Aufgaben 1 bis 8 | Aufgaben 17 bis 24 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 9
Berechnen Sie: |
Aufgabe 10
Berechnen Sie die Summe der Zahlenfolge: |
Aufgabe 11
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: |
Aufgabe 12
Lösen Sie: |
Aufgabe 13 Schätzen, messen und berechnen Sie die Zahl der Herzschläge eines Menschen pro Jahr und begründen Sie Ihre Angaben! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 14 Schätzen, messen und berechnen Sie begründet die Länge, die Oberfläche und das Volumen des Stuhlrohrgestänges! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 15
Überprüfen Sie den Wahrheitsgehalt von: |
Aufgabe 16
Gilt: |
| Aufgaben 17 bis 24 | Aufgaben 9 bis 16 | Aufgaben 25 bis 32 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 17
Gegeben: |
Aufgabe 18
Geben Sie alle Kombinationen von: |
Aufgabe 19 Schätzen, messen und berechnen Sie mit einem Kommentar die Oberfläche eines 20 -Euro- Geldscheins in Quadratmetern! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 20 Schätzen, messen und berechnen Sie, wie viele 1 Cent Euromünzen einer Masse von einem Kilogramm ( kg ) entsprechen unter den Annahme, daß die Mßnzen aus purem Kupfer bestehen und daß sie einen Zylinder mit einem Durchmesser von 16,25 Millimetern ( mm ) und einer Höhe von 1,612 mm bilden. Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 21 Lösen Sie die beiden Summenausdrücke für die allgemeine arithmetische Reihe nach allen möglichen Parametern auf ! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 22 Berechnen Sie die gesamte Weglänge eines Balles, der aus einem Meter ( m ) Höhe fällt, danach 80, dann 64, dann 51,2 Zentimeter ( cm ), etc. hochspringt, bis er endlich zur Ruhe kommt ! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 23
Beweisen Sie: |
Aufgabe 24
Stellen Sie ggf. eine Relation zwischen den beiden Mengen her: |
| Aufgaben 25 bis 32 | Aufgaben 17 bis 24 | Aufgaben 33 bis 40 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 25 Schätzen und berechnen unter vereinfachenden Annahmen Sie die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne und eines Beobachters am Äquator ( in Kilometern ( km ) pro Stunde ( h ) ). Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 26 Konvertieren Sie in das Oktalsystem: (999)10 und: (1432,041)5 in das Dezimalsystem und überprüfen Sie das Ergebnis! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 27 Führen Sie die Grundrechenarten im Dezimal - und im Dualsystem durch für: (a=2,b=3)10 und überprüfen Sie die Ergebnisse im Dezimalsystem! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 28 Berechnen Sie begründet die zweite Wurzel aus: (a=2)10 Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 29
Berechnen Sie: |
Aufgabe 30 Eine Maschine mit einem Anschaffungspreis von 250.000 Euro wird 10 Jahre lang geometrisch degressiv mit jeweils 15 Prozent ( % ) vom Restwert abgeschrieben. Danach wird der Restwert 6 Jahre lang auf den Wert "Null" = "0" abgeschrieben. Geben Sie den Abschreibungsbetrag im zehnten Jahr an, den zugehörigen Restwert und die Abschreibungsrate für die letzten 6 Jahre. Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 31
Zeigen Sie, abgeleitet aus der Logarithmusdefinition: |
Aufgabe 32 Wie lange muß ein Kapital bei: 5 % -iger jährlicher Zinszahlung angelegt werden, bis es sich bei linearer bzw. exponentieller Verzinsung verdoppelt hat? Geben Sie auch den algebraischen Ausdruck für die Laufzeiten an! Aufgabe und Lösung |
| Aufgaben 33 bis 40 | Aufgaben 25 bis 32 | Aufgaben 41 bis 48 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 33
Zeigen Sie, daß gilt: |
Aufgabe 34
Bestimmen Sie die Lösungsmengen von: |
Aufgabe 35 Finden Sie das allgemeine Bildungsgesetz der Potenzen von: i = der imaginären Einheit heraus! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 36
Geben Sie von der komplexen Zahl: |
Aufgabe 37 Geben Sie von den vier trigonometrischen Funktionen: sin a, cos a, tan a, cotan a die wechselseitigen funktionellen Abhängigkeiten an! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 38 Berechnen Sie mittels einer Standardmethode und mittels: "de Moivre" die dritten Potenzen von: z = +1; z = -i und: z = +1 - i ! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 39 Geben Sie die zweite Wurzel aus: z = +1 und: z = - i mittels "de Moivre" und eines binomialen Ansatzes an ! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 40 Ziehen Sie aus: z = ( 1 + i ) die Quadratwurzel ! Aufgabe und Lösung |
| Aufgaben 41 bis 48 | Aufgaben 33 bis 40 | Aufgaben 49 bis 56 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 41 Geben Sie von: x3+8=0 alle Lösungen an! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 42
Leiten Sie: |
Aufgabe 43 Gegeben seien ein Fußball mit dem Radius: r und die Erde mit dem Radius: R idealisiert als Kugeln. Wie ändert sich : r bzw.: R, wenn eine gedachte Schnur um die jeweiligen Äquatoren um einen Meter ( 1 m ) verlängert wird ? Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 44 Berechnen Sie: z=[0,4+0,3i](5+2i)! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 45
Gegeben seien die folgenden Funktionen: |
Aufgabe 46
Zeigen Sie die Eineindeutigkeit und geben Sie die Umkehrfunktion an von: |
Aufgabe 47
Geben Sie die wechselseitigen funktionalen Abhängigkeiten an von: |
Aufgabe 48
Ist der Vektor: b eine Linearkombination der drei Vektoren: |
| Aufgaben 49 bis 56 | Aufgaben 41 bis 48 | Aufgaben 57 bis 64 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 49 Geben Sie die Eineindeutigkeit und die Inverse an von: f(x)=sinh(x)! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 50
Wie lautet die Ableitung von: |
Aufgabe 51
Differenzieren Sie über die Definition der Ableitung die Funktion: |
Aufgabe 52 Zeigen Sie u.a. rechnerisch: Wenn die Seitenmittelpunkte eines beliebigen Vierecks miteinander verbunden werden, ergibt sich ein Parallelogramm! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 53
Geben Sie sämtliche Produkte der Vektoren: |
Aufgabe 54
Geben Sie denjenigen Einheitsvektor an, der senkrecht steht zu der gegebenen Ebene: |
Aufgabe 55 Differenzieren Sie: f(x)=ex sinx ! Machen Sie die Probe ! Aufgabe und Lösung |
Aufgabe 56 Integrieren Sie: g(x)=(x2-x+1)cosx ! Machen Sie die Probe ! Aufgabe und Lösung |
| Aufgaben 57 bis 64 | Aufgaben 49 bis 56 | Aufgaben 65 bis 72 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 57
Zeigen Sie, daß gilt: |
Aufgabe 58
Geben Sie die Lösungen an von: |
Aufgabe 59
Zeigen Sie, daß: |
Aufgabe 60
Zeigen Sie: |
Aufgabe 61
Integrieren Sie (mit Probe): |
Aufgabe 62
Integrieren Sie partiell und mit einem Lösungsansatz. |
Aufgabe 63
Zeigen Sie: |
Aufgabe 64
Zeigen Sie, daßß für: 2 x 2 - Matrizen gilt: |
| Aufgaben 65 bis 72 | Aufgaben 57 bis 64 | Aufgaben 73 bis 80 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 65
Geben Sie den Rang an von: |
Aufgabe 66
Gegeben sei: |
Aufgabe 67
Integrieren Sie: |
Aufgabe 68
Zeigen Sie, daß gilt: |
Aufgabe 69
Geben Sie mittels dreier verschiedener Methoden die Potenzreihenentwicklung an von: |
Aufgabe 70
Berechnen Sie die beiden Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: |
Aufgabe 71
Berechnen Sie die beiden Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: |
Aufgabe 72
Orthonormalisieren ( GRAM - Schmidt ) Sie der Reihe nach die Vektoren: |
| Aufgaben 73 bis 80 | Aufgaben 65 bis 72 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 73
Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Rekursionsformel: |
Aufgabe 74
Geben Sie von der nachfolgenden Funktion ( gedämpfte Schwingung ) die Extremwerte an: |
Aufgabe 75
Geben Sie von der nachfolgenden Funktion ( gedämpfte Schwingung ) mittels der Taylor - Reihe die Wendetangenten an: |
Aufgabe 76
Geben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren an von der Matrix: |
Aufgabe 77
Geben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren an von der Matrix: |
Aufgabe 78
Geben Sie von der Matrix die inverse Matrix an: |
Aufgabe 79
Berechnen Sie über den Grenzwertprozess |
Aufgabe 80
Integrieren Sie partiell: |
| Aufgaben 81 bis 84 | Aufgaben 73 bis 80 | Hausaufgaben |
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Aufgabe 81
Berechnen Sie für: |
Aufgabe 82
Berechnen Sie mit drei verschiedenen Methoden das folgende Gleichungssystem: |
Aufgabe 83
Berechnen Sie mittels der Sarrus'schen Regel und mittels des Entwicklungssatzes die Determinante: |
Aufgabe 84
Berechnen Sie die Determinante: |
| Aufgaben 1 bis 8 | Hausaufgaben | |||
gelte die Formel:
.
(und finden Sie heraus, ob es noch andere Bildungsgesetze gibt).
.
.
?
?
und 
an!
im Euler - Venn - Diagramm an. Ordnen Sie diesen Kombinationen sinnvolle Elemente zu !
!
und 
her!
!
bzw. 
.
!
!
aus 
ab!
!
!
!
? 
?
!
an und interpretieren Sie die Ergebnisse!
.
!
!
!
.
!
.
.
. (Aufgabe 57)
,
.
!
!
! 
.
!
!
!
!
!
und überprüfen Sie das Ergebnis mittels Riemann!
die Fläche im Intervall 
!
.
.
.