Mathematik und Statistik MS 2 (L02)

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten von .

Aufgabe 2

Berechnen Sie die McLaurin − Reihe von: mit mindestens 4 Gliedern.

Aufgabe 3

Berechnen Sie die Taylor − Reihe für: a=1 von: mit etwa 4 Gliedern.

Aufgabe 4

Gegeben seien die drei Vektoren:
.
Für welche k sind diese Vektoren linear abhängig und für welche linear unabhängig?

Aufgabe 5

Berechnen Sie den Wert der Determinante D.
.

Aufgabe 6

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von:
!

Aufgabe 7

Berechnen Sie exakt und vergleichen Sie die Werte für die Nullstelle, die mittels dem Verfahren von Newton, der Regula falsi und einer Mittelung zu erhalten sind von der Funktion: !

Aufgabe 8

Berechnen Sie exakt und mittels der Ihnen angegebenen Näherung ( n = 6 ) bei äquidistanten Stützstellen die Fläche unter:
.

Aufgabe 9

Sei die Erde eine gedachte Kugel mit einem Radius von 6000 Kilometern. Die Eisdecken an den Erdpolen haben ein Volumen von etwa 18 Millionen Kubikkilometern. Wie hoch steigen approximativ weltweit die Meere und Ozeane, wenn alles Eis abschmelzen würde ?

Aufgabe 10

Mittels vektorieller Methoden soll gezeigt werden, daß sich die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren.

Aufgabe 11

Mittels Vektoren zeigen Sie, daß eine Strecke im Raum beliebig durch ein Teilungsverhältnis geteilt werden kann.

Aufgabe 12

Gegeben sei eine Ebene: E1. Gesucht sei eine dazu parallele Ebene: E 2, die noch durch den Punkt: P1 geht mit den Angaben:
.

Aufgabe 13

Im Ozean werde Öl freigesetzt, welches sich kreisförmig auf der Wasseroberfläche ausbreitet. Der Radius dieses Kreises wachse mit: 2 Meter pro Minute. Wie schnell wächst die Fläche des Ölfilms, wenn dessen Radius: 100 Meter beträgt ?

Aufgabe 14

Zeigen Sie, daß: ( Glockenkurve ) die Differentialgleichung: erfüllt. Existiert die triviale Lösung ? Wie lautet die Lösung für: ? Probe !

Aufgabe 15

Lösen die folgenden Funktionen:

die partielle Differentialgleichung von Laplace:
?

Aufgabe 16

Zeigen Sie mittels Vektormethoden, daß jedes Dreieck, eingeschrieben in einem Halbkreis, ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Aufgabe 17

Gegeben seien die folgenden vier Ungleichungen:
.
Stellen Sie das System und die zugehörigen Lösungen grafisch dar !

Aufgabe 18

Zwei Produkte mit der Bezeichnung: x₁ und: x₂ werden auf den Maschinen: A, B und: C produziert mit maximal 200 Stück pro Monat. Dabei gebe es die folgenden Bearbeitungszeiten pro Stück:
TABELLE siehe Aufgabe!.
a) Wie lautet das System von Ungleichungen, gegeben durch die monatlich hergestellten Produkte?
b) Stellen Sie das System grafisch dar !
c) Welche ( falls es sie gibt ) Kapazitätsbeschränkung ist überflüssig ?

Aufgabe 19

Gegeben sei: . Geben Sie die Lösung an mit Proben !

Aufgabe 20

Lösen Sie mit Proben ( Kirchhoff in Reihe ):
! Dies stellt eine elektrische Reihenschaltung mit induktivem und ohmschen Widerstand dar.

Aufgabe 21

Gegeben seien: 100 Milligramm ( mg ) einer radioaktiven Substanz, die proportional zu ihrer Masse zerfalle. Nach: 2 Jahren seien 5 Prozent zerfallen. Wie lautet die Differentialgleichung ? Wie groß ist die Substanzmasse nach einer beliebigen Zeit: t ? Wann sind : 10 % der Substanz zerfallen ?

Aufgabe 22

Gegeben seien:
der Aufgabe 17.) und eine Gewinn − = Zielfunktion: z = x₁ + x₂ . Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Vielecks und geben Sie an, welche Punkte einer Maximierungs− bzw. einer Minimierungsaufgabe entspricht und berechnen Sie die Werte für die Gewinn − = Zielfunktion !

Aufgabe 23

Geben Sie die Lösung des folgenden Planungsproblems an:
Die Produktionsmengen: x₁, x₂ der Produkte: P₁, P₂ mit den Stückdeckungsbeiträgen in Euro: 5 ( 1 ) bzw.: 6 ( 2 ) und den Fixkosten: 7 mit Bearbeitungszeiten:
.
Deren Kapazitäten seien: 40 ( 1 ) bzw. 60 ( 2 ) Arbeitsstunden für die Fertigstellung = Montage in der Planungsperiode.Ferner enthalte: P₁ eine Komponente, von der pro Planungsperiode drei Stück vorhanden seien.

Aufgabe 24

Drei Produkte: P₁, P₂, und: P₃ werden auf zwei Maschinen: M₁ und: M₂ hergestellt, siehe Tabelle. Die Deckungsbeiträge seien für P₁: 4 Geldeinheiten pro Maschineneinheit(GE / ME ) für P₂: 2 GE / ME und für P₃: 3 GE / ME. Wie lautet das lineare Programm? Gibt es eine grafische Lösungsmöglichkeit ? Lösen Sie es grafisch. (Tabelle siehe Aufg.).

Aufgabe 25

Lösen Sie mit Probe:
.

Aufgabe 26

Geben Sie diejenige Differentialgleichung 1. Ordnung an, für die die Funktion: y(x) = x2 Lösung ist. Probe!

Aufgabe 27

Gegeben sei die Differentialgleichung: y´+ Ky=f(x). Geben Sie mittels Integration deren inhomogene und allgemeine Lösung an für die Störfunktionen: f(x)=sin(x) und: g(x)=exp(2x). Wie lautet der Lösungsansatz? Machen Sie die Probe.

Aufgabe 28

Berechnen Sie mittels des Simplex Algorithmus die optimale Lösung von Aufgabe 23.

Aufgabe 29

Berechnen Sie mittels des Simplex Algorithmus die optimale Lösung von Aufgabe 24.

Aufgabe 30

Berechnen Sie mittels des Simplex Algorithmus die optimalen Lösungen, gleich Maxima und Minima von der Aufgabe 22.

Aufgabe 31

Gegeben sei: y´+Ky=xn. Geben Sie über die Integration die allgemeine und daraus die homogene und inhomogene Lösung an. Wie lautet der Ansatz? Probe!

Aufgabe 32

Gegeben sei: y´´−9y=0 und: y(0)=5 und: y´(0)=9. Geben Sie die Lösungen an mit Proben.

Aufgabe 33

Lösen Sie auf zwei verschiedene Weisen: y´´−2y´=0 mit: y(0)=−1 und: y(0,5)= e − 2 mit Proben!

Aufgabe 34

Lösen Sie grafisch und analytisch und vergleichen Sie:

Aufgabe 35

Lösen Sie grafisch und analytisch und vergleichen Sie:

Aufgabe 36

Lösen Sie grafisch das LOP:

Aufgabe 37

Lösen Sie mittels Variation der Konstanten die Differentialgleichung: y´+p(x)y=f(x). Probe!

Aufgabe 38

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung: y´+y=x+sinx ! Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Integration und mit Ansatz. Probe!

Aufgabe 39

Gegeben sei die Differentialgleichung: y´−y=x*sinx ! Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Integration und mit Ansatz. Probe!

Aufgabe 40

Lösen Sie grafisch das LOP und dessen duales Programms mit dessen Angabe:
!

Aufgabe 41

Schreiben Sie als Maximum − Programm und geben Sie das duale Programm an von:

(siehe Aufgabe)

Aufgabe 42

Pro Zeiteinheit werden: x1 Tische und: x2 Stühle auf Säge− (S), Hobelmaschinen (H) und in der Lackiererei (L) bearbeitet nach beigefügter Tabelle.
a) Wie lautet das LOP?
b) Wie sieht die grafische Lösung aus?
c) Werden alle Kapazitäten ausgelastet?
d) Wie wäre dies möglich ?
e) Mit der Gewinnfunktion: G(x1;x2)=10 x1+x2
Rechnen Sie! (Tabelle siehe Aufgabe)

Aufgabe 43

Lösen Sie mit Probe: y'’+y=y²!

Aufgabe 44

Wie lauten die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von der Funktion:
?

Aufgabe 45

Geben Sie die inversen Funktionen zu den Kugelkoordinaten an:
!

Aufgabe 46

Für 4 Schlachthöfe: ( Si ) werden 3 Bauern: ( Bj ) 70 Tiere ( T ) abgekauft. Mit: B1 = 20 T; B2 = 35 T.; und: B3 = 15 T. Die Schlachthöfe brauchen: S1 = 10 T. S2 = 15 T.; S3 = 20 T.; und: S4 = 25 T. Die Transportkosten pro Tier von den Bauern zu den Schlachthöfen sind der Tabelle zu entnehmen. Geben Sie die Ausgangsbasislösung nach der Nordwest − Ecken − Regel an. (Tabelle siehe Aufgabe)

Aufgabe 47

In der Tabelle (siehe Aufgabe) seien die Transportkosten je Mengeneinheit angegeben. Wie lauten die Beschränkungen und wie die Zielfunktion ?

Aufgabe 48

Lösen Sie analytisch und grafisch das nachfolgende Problem! (Problem ebenfalls siehe Aufgabe)

Aufgabe 49

Berechnen Sie die LAGRANGE − Multiplikatoren für die Mantelfläche einer zylindrischen Dose des Radius = r und der Höhe = h als ein Minimalproblem!

Aufgabe 50

Berechnen Sie die Extrema von: f(x,y)=4−x2−y2. Wie sieht diese Funktion aus (Graph)?

Aufgabe 51

Berechnen Sie die Extrema von: f(x1,x2)=x1*x2. Wie sieht diese Funktion aus (Graph)?

Aufgabe 52

Berechnen Sie die Extrema von:
! Wie sieht diese Funktion aus (Graph)?

Aufgabe 53

Berechnen Sie:!

Aufgabe 54

Es gebe 5 Briefe und 5 Briefumschläge, die alle geschrieben bzw. beschriftet seien. Wie viele Möglichkeiten existieren, diese 5 Briefe in die 5 Briefumschläge zu stecken ?

Aufgabe 55

Eine Münze werde dreimal geworfen. Was ist das "Zufallsexperiment", das "Elementarereignis", das "zusammengesetzte Ereignis", der "Ereignisraum" und die "Wahrscheinlichkeit" ?

Aufgabe 56

Mit unendlich vielen Losen sei bei deren Verkauf jedes zweite Los eine Niete. Wie viele Lose sind zu kaufen, um mit 99 % −iger Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu erhalten ?

Aufgabe 57

Drei Maschinen: (1); (2) und: (3) produzieren je 50 %; 30 % und: 20 % der Produkte. Die defekten Anteile seien jeweils: 3 %; 4 % und: 5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig ausgewähltes Produkt defekt ist? Und das dieses Produkt die Maschine (1) hergestellt hat?

Aufgabe 58

Unabhängig voneinander versuchen zwei Personen diese Aufgabe mit einem Erfolg von 0, 6 zu lösen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß einer / keiner die Aufgabe löst ?

Aufgabe 59

In einer Urne seien: drei rote und: zwei grüne Kugeln. Wie lautet der Ereignisraum, wenn eine und wenn zwei Kugeln zufällig entnommen werden?

Aufgabe 60

Die drei Buchstaben: A := 3x; M := 2x und: L := 1x werden verdeckt gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Reihenfolge: " MALAMA " mit bzw. ohne Zurücklegen erreicht wird?

Aufgabe 61

Geben Sie zur angegebenen Dichtefunktion die Verteilungsfunktion an:.

Aufgabe 62

Die folgende Tabelle sei gegeben. Wie groß ist: "a" zu wählen, damit dies eine Wahrscheinlichkeitsverteilung wird ? Geben Sie die Verteilungsfunktion an! Tabelle siehe Aufgabe.

Aufgabe 63

Wie groß muß der Wert von: "a" gewählt werden, damit: f(x) die Dichtefunktion einer Zufallsvariable ist mit: siehe Aufgabe!?

Aufgabe 64

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Verteilung der gegebenen Zufallsvariablen: "X" :siehe Aufgabe!

Aufgabe 65

Wie lautet die Verteilungsfunktion, der Erwartungswert und die Varianz der folgenden gegebenen Dichtefunktion:?

Aufgabe 66

Die Zufallsvariable: X habe den Erwartungswert: E(X)=0 und die Varianz: VAR(X)=10. Wie lautet das Intervall, in dem die Werte von: X mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens: 0,9 liegen ( d. h., gesucht ist ein: a; b mit: P ( a < x < b ) > 0,9 ?

Aufgabe 67

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, beim Lotto ( "6 aus 49" ): 4 öder 5 Richtige zuhaben !

Aufgabe 68

Eine Münze werde 4−mal gewörfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, daß: "Zahl" einmal; zweimal; dreimal auftritt !

Aufgabe 69

Poisson − verteilt werden die Briefträger vön Hunden gebissen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von genau : 6 Bissen pro Woche und von: mehr als 8 Bissen pro drei Wochen, wenn pro Woche gilt: μ=3 ?

Aufgabe 70

Die Zufallsvariable: Z sei standardnörmalverteilt. Geben Sie die Werte unter Benutzung entsprechender Tabellen an vön: P(0<Z<2,4) und P(Z<−0,1) !

Aufgabe 71

Die Zufallsvariable: Z sei standardnörmalverteilt. Geben Sie: A, B und: D mittels einer Tabelle an vön: P(Z<A)=0,6 und P(Z<B)=0,8 und P(|Z|>D)=0,3!

Aufgabe 72

Ein Prödukt sei nörmalverteilt. Gesucht ist der Ausschuss ( = zu verwerfende Prödukte ), wenn für die Prödukte die fölgenden Daten gegeben sind: μ = 400 Zentimeter (cm) ; s = 5 cm ; Minimale Länge = l_min = 390 cm.

Aufgabe 73

Stellen Sie vön der Exponentialverteilung die Dichte − und die Verteilungsfunktion grafisch mit beliebigem λ dar !

Aufgabe 74

Die Student ( = t − ) − Verteilung sei mit: 12 Freiheitsgraden gegeben. Mittels einer Tabelle berechnen Sie die Werte für: (siehe Aufgabe)!

Aufgabe 75

Die Chi²− Verteilung sei mit: 25 Freiheitsgraden gegeben. Mittels einer Tabelle berechnen Sie die Werte für: (siehe Aufgabe)!

Aufgabe 76

Geben Sie : t ( 0,9; 72 ) approximativ an. Welche Approximatiön kann verwendet werden ?

Aufgabe 77

Geben Sie an, auf welcher Skala die Ausprägungen geordnet und ob diese häufbar sind: (1): Ursache von Verkehrsunfällen; (2): Güteklassen von Hotels; (3): Religionszugehörigkeit; (4): Sparguthaben; (5): Körpergröße; (6): Matrikelnummern vön Studenten; (7): Wertungsnoten beim Eiskunstlaufen; (8): Kinderzahl von Personen; (9): Geburtsdatum; (10): Hobby von Personen !

Aufgabe 78

Geben Sie an, ob es sich um Bestands− oder um Ereignismassen handelt ( für Bestandsmassen geben Sie die korrespondierenden Ereignismassen an): (1): Todesfälle durch Lungenkrebs in Berlin; (2): Geldumlaufmenge in der EU; (3): Papierverbrauch in einer Druckerei; (4): Fahrradunfälle mit Kinderbeteiligung, die jünger als 6 Jahre sind; (5): Besucher des DFB − Pokalendspiels.

Aufgabe 79

Die Antworten von : 40 Personen bzgl. ihrer Berufstätigkeiten ( A := Arbeiter; B := Beamter; K := Angestellter; S := Selbstständiger ) lauten: B; A; A; K; S; A; A; B; K; B; S; S; A; B; B; A; A; A; B; A; B; B; A; K; K; S; K; B; A; K; B; A; A; K; A; K; K; A; K; A. Was ist: Merkmalsträger ? Merkmal ? Merkmalsausprägung ?

Aufgabe 80

Die Antworten von : 40 Personen bzgl. ihrer Berufstätigkeiten ( A := Arbeiter; B := Beamter; K := Angestellter; S := Selbstständiger ) lauten: B; A; A; K; S; A; A; B; K; B; S; S; A; B; B; A; A; A; B; A; B; B; A; K; K; S; K; B; A; K; B; A; A; K; A; K; K; A; K; A. Geben Sie die absöluten und die relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen an !

Aufgabe 81

Die Antworten von : 40 Personen bzgl. ihrer Berufstätigkeiten ( A := Arbeiter; B := Beamter; K := Angestellter; S := Selbstständiger ) lauten: B; A; A; K; S; A; A; B; K; B; S; S; A; B; B; A; A; A; B; A; B; B; A; K; K; S; K; B; A; K; B; A; A; K; A; K; K; A; K; A. Skizzieren Sie die Häufigkeitsverteilung als: Stab−; als: Flächen − und als: Kreis − Diagramm!

Aufgabe 82

Es seien 7 Kugeln beschriftet mit den Ziffern; 10; 11; 11; 12; 12; 12; 16. Wie viele Stichproben mit zwei Kugeln sind ohne Zurücklegen möglich ?

Aufgabe 83

Es seien 7 Kugeln beschriftet mit den Ziffern; 10; 11; 11; 12; 12; 12; 16. Welche Wertepaare für je zwei Kugeln sind nicht möglich ohne Zurücklegen?

Aufgabe 84

Es seien 7 Kugeln beschriftet mit den Ziffern; 10; 11; 11; 12; 12; 12; 16. Geben Sie die Mittelwerte ohne Zurücklegen bei der Entnahme von zwei Kugeln an und die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenmittelwertes.

Aufgabe 85

Fölgende Meßwerte seien gegeben: 121, 140, 216, 84, 70, 104, 119, 208, 181, 137, 92, 142, 111, 96, 150, 99, 127, 131. Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert; den Median und die Spannweite.

Aufgabe 86

Fölgende Meßwerte seien gegeben: 121, 140, 216, 84, 70, 104, 119, 208, 181, 137, 92, 142, 111, 96, 150, 99, 127, 131. Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung und das: 0,1 − Quantil !

Aufgabe 87

Für: 10 Aufgaben werden maximal: 100 Punkte gegeben. Die Tabelle gibt zu jeder Note die Punkte an, die mindestens für eine Note erreicht werden muß. Es wurden die angegebenen Punktzahlen erreicht. Geben Sie die durchschnittliche Punktzahl und die DurchschnittsNote ( = arithmetisches Mittel ) und die Mediane der Noten− und der Punktverteilung an.(Tabelle siehe Aufgabe)

Aufgabe 88

Es gebe: 1 Karton mit Bremsen; 2 Kartons mit Zahnrädern und: 3 Kartons mit Schrauben mit der Massen in Kilögramm ( kg ) mit den unabhängigen nörmalverteilten Zufallsvariablen: Xi ( i = 1, ..., 6 ) und: E ( X1 ) = 125; E ( X2 ) = E ( X3 ) = 84; E ( X4 ) = E ( X5 ) = E ( X6 ) = 65 sowie: VAR ( X1 ) = 1; VAR ( X2 ) = VAR ( X3 ) = 4; VAR ( X4 ) = VAR ( X5 ) = VAR ( X6 ) = 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle 6 Kartons zusammen mehr als: 500 kg Masse haben ?

Aufgabe 89

Eine Kiste enthalte: 5000 Schrauben, davon: 10 defekte. Berechnen Sie ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit, daß von entnömmenen 500 Schrauben genau eine Schraube defekt ist.

Aufgabe 90

Eine Kiste enthalte: 5000 Schrauben, davon: 10 defekte. Berechnen Sie ohne Zurücklegen mittels einer geeigneten Approximation die Wahrscheinlichkeit, daß von entnömmenen 500 Schrauben genau eine defekt ist. Geben Sie den Namen der Approximation an !