Mathematik 2 (P01)

Aufgabe 1

Lösen Sie das folgende Integral!

Aufgabe 2

Lösen Sie mit Kommentar:

Aufgabe 3

Schreiben Sie die Fourier - Entwicklung mit den drei Koeffizienten für eine beliebige Intervalllänge: L hin und leiten Sie den Euler Koeffizienten: a₀ ab.

Aufgabe 4

Berechnen Sie die Fourier - Entwicklung von: y = x in: !

Aufgabe 5

Berechnen Sie: A*B mit:
und:
.

Aufgabe 6

Gegeben seien:
;
und die Vektoren:
.

Aufgabe 7

Leiten Sie die inverse Funktion von der Tangens Hyperbolicus Funktion ab!

Aufgabe 8

Zeigen Sie über die Definition, daß u. a. die Auswahl der folgenden Additionstheoreme gelten:
sinhx+coshx = exp(x);
sowie:
.

Aufgabe 9

Gegeben sei:
.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich für die reellen Zahlen, die Schnittpunkte mit der x - und f(x) - Achse und berechnen Sie die Extremwerte und die Wendepunkte!

Aufgabe 10

Gegeben seien zwei Kreise:
.
Bestimmen Sie, falls möglich, deren gemeinsame Schnittpunkte und deren Sehne.

Aufgabe 11

Gegeben Sei eine Matrix:
.
Berechnen Sie von: A die Eigenwerte und die Eigenvektoren.

Aufgabe 12

Geben Sie die Ableitungs- (=1 Pkt.) und die Integrationsmatrix (=1 Pkt.) an von:
.

Aufgabe 13

Gegeben sei eine reelle Matrix:
.
Für welche Elemente dieser Matrix gilt:
? ( Begriff der orthogonalen Matrix. )

Aufgabe 14

Geben Sie den Rang an von:
.

Aufgabe 15

Ein im dreidimensionalen Raum bewegter Körper sei gegeben durch: .
Geben Sie dessen Geschwindigkeit und Beschleunigung für die Zeit: t = 1 an.

Aufgabe 16

Untersuchen Sie die Versiera der Agnesi:
!
( Nullstellen; Extremwerte; Wendepunkte; asymptotisches Verhalten ).

Aufgabe 17

Geben Sie von der Strophoiden:

die Schnittpunkte mit den Achsen; die Extremwerte; die Pole und die Wendepunkte an !

Aufgabe 18

Berechnen Sie die McLaurien - Reihe von Arcsinh x !

Aufgabe 19

Berechnen Sie: und vergleichen Sie dies mit dem Ausgangsintegral. Berechnen Sie danach das Integral für : x = 1 und entwickeln Sie damit die Werte für: x = 2, 3, ...,n ! ( Gauß'sche Gamma - Funktion und Verallgemeinerung der Fakultät ).

Aufgabe 20

Berechnen Sie: Vergleichen Sie diesen Wert mit der Trapezformel mit der geringsten Stützstellenzahl und geben Sie den Fehler an!

Aufgabe 21

Berechnen Sie: Vergleichen Sie diesen Wert mit der Simpson - Formel mit der geringsten Stützstellenzahl und geben Sie den Fehler an!

Aufgabe 22

Was stellt das folgende Gebilde dar?

Aufgabe 23

Lösen Sie:
I  x²+y²+3x+3y=8 und
II xy+4x+4y=2

Aufgabe 24

Mit der Methode der kleinsten Quadrate berechnen Sie mittels Matrix - Methoden und Zwischenschritten ( diese angeben ! ) eine beste Näherungsgerade durch die folgenden vier Punkte einer Ebene: P1(0;1); P2(1;3); P3(2;4); und P4(3;4).

Aufgabe 25

Berechnen Sie schrittweise in kartesischen Koordinaten die Fläche der Ellipse: !

Aufgabe 26

Berechnen Sie schrittweise das Kugelvolumen mit dem Radius R durch Integration über die Kugelkoordinaten !

Aufgabe 27

Berechnen Sie schrittweise das Kugelvolumen mit dem Radius R durch Integration über die kartesischen Koordinaten mit: x²+y²+z²=R² !

Aufgabe 28

Zeigen Sie, daß y(x)=x² eine Lösung der Differentialgleichung: xy'=2y ist, für den Definitionsbereich von x!

Aufgabe 29

Zeigen Sie, daß der Einheitskreis eine Lösung der Differentialgleichung: yy'+x=0 ist für: -1 < x < +1 !

Aufgabe 30

Weisen Sie nach, daß die partielle Differentialgleichung: gelöst wird durch: sowie: und: .

Aufgabe 31

Gegeben seien Kurven: K1
und K2 . Zeigen Sie - falls eine Schnittkurve existiert- , diese eine Ebene ist und geben Sie deren Gleichung an.

Aufgabe 32

Geben Sie die folgende Zylinderkoordinaten - Gleichung in kartesischen Koordinaten an: .

Aufgabe 33

Geben Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen an von der Funktion des
!
Und vergleichen Sie die gemischten partiellen zweiten Ableitungen!

Aufgabe 34

Lösen Sie grafisch die Differentialgleichung: y - x y' = 0. Erraten Sie mit der gefundenen Kurvenschar die Lösung !

Aufgabe 35

Geben Sie die Lösungen an von: Wie sehen die Kurvenscharen aus, wenn die Konstante : C variiert wird ? (Proben gehören immer zur Lösung dazu !)

Aufgabe 36

Geben Sie die Lösung an von: . Wie sieht die Kurvenschar aus, wenn die Konstante : C variiert wird ? ( Proben gehören immer zur Lösung dazu ! )

Aufgabe 37

Gegeben sei : . Wie sehen die Kurvenscharen aus ? Probe !

Aufgabe 38

Gegeben sei : . Wie sehen die Kurvenscharen aus ? Probe !

Aufgabe 39

Gegeben sei : . Wie sehen die Kurvenscharen aus ? Probe !

Aufgabe 40

Untersuchen Sie die Art der Extrema für die Funktion: .

Aufgabe 41

Geben Sie die Art der Extrema für die Funktion: an!

Aufgabe 42

Berechnen Sie ggf. die Extrema für die Funktion: .

Aufgabe 43

Zeigen Sie, daß die Ebene: 2x - y - 2z = 10 das Gebilde:
in nur einem Punkt berührt und damit Tangentenebene ist ! ( Was ist das für ein Gebilde ? )

Aufgabe 44

a. Berechnen Sie die Bogenlänge im geschlossenen Intervall von ( a ; b ) für die Funktion: f ( x ) = c und überprüfen Sie das Ergebnis elementar.
b. Berechnen Sie die Bogenlänge im geschlossenen Intervall von ( a ; b ) für die Funktion: f ( x ) = x und überprüfen Sie das Ergebnis elementar.

Aufgabe 45

Berechnen Sie die Bogenlänge für den Kreis mit dem Radius: R und überprüfen Sie das Ergebnis.

Aufgabe 46

Experimente zeigen, daß Gas bei geringem Druck: p und konstanter Temperatur: T ein Volumenänderung: V ( p ) zeigt, die gleich: (-V/p) ist. Stellen Sie die Differentialgleichung auf und lösen Sie diese ( Ideales Gas; Gesetz von Boyle - Mariotte ).

Aufgabe 47

Lösen Sie die Differentialgleichung: xy'=x+y!

Aufgabe 48

Lösen Sie die Differentialgleichung: y'=8x+2y!

Aufgabe 49

Lösen Sie die Fallschirmspringeraufgabe der Vorlesung als spezielle Lösung !

Aufgabe 50

Lösen Sie : ! Probe!

Aufgabe 51

Zeigen Sie, daß für: y dx = x dy die Ausdrücke:
integrierende Faktoren sind.

Aufgabe 52

Beschreiben Sie im Dreidimensionalen das Gebilde: .

Aufgabe 53

Geben Sie die kartesischen Koordinaten an, die in Zylinderkoordinaten lauten: !

Aufgabe 54

Für welche Werte von: k hat die gegebene Funktion in: P ( 0; 0 ) ein relatives Minimum ? Wie groß ist dessen Wert ? Mit: .

Aufgabe 55

Lösen Sie: y'+a(x)y=0 als exakte Differentialgleichung !

Aufgabe 56

Lösen Sie : mittels zweier Methoden !

Aufgabe 57

Gegeben sei : . Wie lautet die Lösung? Welcher Lösungsansatz ist zu wählen ?

Aufgabe 58

Berechnen Sie: mittels einiger Umwandlungen !

Aufgabe 59

Berechnen Sie: .

Aufgabe 60

Minimieren Sie: x*y für die Punkte des Einheitskreises: !

Aufgabe 61

Gegeben seien drei Punkte: P1 ( 0; 1); P2 ( 1; 2 ); P3 ( 2;4 ). Berechnen Sie die Regressionsgerade und vergleichen Sie diese mit Ihrer Skizze!

Aufgabe 62

Geben Sie die Masse einer Kreisplatte an mit dem Radius R, dessen Dichte numerisch gleich dem Abstand vom Mittelpunkt sein soll.

Aufgabe 63

Geben Sie die Momente zur x - und zur y - Achse an, gegeben durch die Fläche zwischen: 3x + 4y = 24; und: x = 0 ; sowie: y = 0 mit einer Dichte von: = 1 !

Aufgabe 64

Lösen Sie durch Ansatz und Integration mit Probe: !

Aufgabe 65

Lösen Sie durch Ansatz und Integration mit Probe: !

Aufgabe 66

Lösen Sie durch Integration mit Probe: !

Aufgabe 67

Lösen Sie mit Probe die Bernoulli - Differentialgleichung: !

Aufgabe 68

Lösen Sie mit Probe die Clairaut - Differentialgleichung: ! Beginnen Sie mit der Differentiation der gegebenen Differentialgleichung !

Aufgabe 69

Lösen Sie mit Probe die Riccati - Differentialgleichung: , wobei die erste Lösung gegeben sei, aber mit Probe !

Aufgabe 70

Gegeben sei das Kirchhoff'sche Gesetz zur Ableitung einer Differentialgleichung: mit einer elektromotorischen Quelle: E ( t ); einem induktiven Widerstand: L; einem Ohmschen Widerstand: R; einem Aus - Ein - Schalter: S und entsprechenden Messgeräten ( Ampère - und Volt - Meter: A - und V - Meter ) in Reihenschaltung. Geben Sie die zugehörige Differentialgleichung an und integrieren Sie diese! Es seien die Spannungsabfälle wie folgt gegeben: .

Aufgabe 71

Gegeben sei das Kirchhoff'sche Gesetz zur Ableitung einer Differentialgleichung: mit einer elektromotorischen Quelle: E ( t ); einem induktiven Widerstand: L; einem Ohmschen Widerstand: R; einem Aus - Ein - Schalter: S und entsprechenden Messgeräten ( Ampère - und Volt - Meter: A - und V - Meter ) in Reihenschaltung. Es sind die Spannungsabfälle wie folgt gegeben: . Wie lautet die Lösung für:
a) eine Batterie mit: U ( B ) = K = E ( t )? und
b) für einen Wechselstrom: U ( W ) = A sin = Kreisfrequenz; t = Zeit ?

Aufgabe 72

Berechnen Sie exakt und mittels Picard die nachfolgende Differentialgleichung und vergleichen Sie die Ergebnisse: .

Aufgabe 73

Lösen Sie mittels Substitution, danach Probe: y''+y'=x+1!

Aufgabe 74

Lösen Sie exakt und mittels Runge - Kutta - Verfahren mit : h=2 (n = 0, 1,..., 5) und vergleichen Sie:

Aufgabe 75

Lösen Sie die Differentialgleichung mit Probe: .

Aufgabe 76

Lösen Sie die Differentialgleichung mit Probe: .

Aufgabe 77

Lösen Sie die Differentialgleichung des elektrischen Schaltkreises mit Probe: .
Mit: L = Induktivität; dem Strom : i = i ( t ); mit: R = ohmscher Widerstand; und: C = kapazitiver Widerstand

Aufgabe 78

Lösen Sie komplex und reell die Differentialgleichung mit Probe: .

Aufgabe 79

Zeigen Sie mittels der Wronski - Determinanten; daß die Basis ( komplex und reell ) von der Differentialgleichung: linear unabhängig ist!

Aufgabe 80

Transformieren Sie: in eine lineare Differentialgleichung, lösen Sie diese und retransformieren Sie die Lösung !

Aufgabe 81

Lösen Sie ( Euler - Cauchy ): mit Probe !

Aufgabe 82

Lösen Sie ( Euler - Cauchy ): mit Probe !

Aufgabe 83

Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung durch Integration mit Probe: !

Aufgabe 84

Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung durch Integration mit Probe: !

Aufgabe 85

Verifizieren Sie, daß die in der Vorlesung Ihnen gegebene Differentialgleichung: durch gelöst wird.

Aufgabe 86

Lösen Sie die Differentialgleichung: ( = Resonanzfall ) !

Aufgabe 87

Überprüfen Sie die Lösung des technischen Resonanzfalles: !

Aufgabe 88

Lösen Sie die homogene Differentialgleichung des Stromes in Reihenschaltung für: I ( t ) !

Aufgabe 89

Lösen Sie die inhomogene Differentialgleichung des Stromes in Reihenschaltung für: I ( t ) mit: !

Aufgabe 90

Lösen Sie die mechanische Differentialgleichung: mittels des komplexen Ansatzes und vergleichen Sie dies mit der reellen Lösung !