Mathematik 2 (P02)

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten von:
.

Aufgabe 2

Berechnen Sie die McLaurin − Reihe von: mit mindestens 4 Gliedern.

Aufgabe 3

Berechnen Sie die Taylor-Reihe für: a=1 von: mit etwa 4 Gliedern.

Aufgabe 4

Gegeben seien die drei Vektoren:
.
Für welche k sind diese Vektoren linear abhängig und für welche linear unabhängig?

Aufgabe 5

Berechnen Sie den Wert der Determinante D.
.

Aufgabe 6

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von:
!

Aufgabe 7

Berechnen Sie exakt und vergleichen Sie die Werte für die Nullstelle, die mittels dem Verfahren von Newton, der Regula falsi und einer Mittelung zu erhalten sind von der Funktion: !

Aufgabe 8

Berechnen Sie exakt und mittels der Ihnen angegebenen Näherung ( n = 6 ) bei äquidistanten Stützstellen die Fläche unter: .

Aufgabe 9

Sei die Erde eine gedachte Kugel mit einem Radius von 6000 Kilometern. Die Eisdecken an den Erdpolen haben ein Volumen von etwa 18 Millionen Kubikkilometern. Wie hoch steigen approximativ weltweit die Meere und Ozeane, wenn alles Eis abschmelzen würde ?

Aufgabe 10

Mittels vektorieller Methoden soll gezeigt werden, daß sich die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren.

Aufgabe 11

Mittels Vektoren zeigen Sie, daß eine Strecke im Raum beliebig durch ein Teilungsverhältnis geteilt werden kann.

Aufgabe 12

Gegeben sei eine Ebene: E1. Gesucht sei eine dazu parallele Ebene: E 2, die noch durch den Punkt: P1 geht mit den Angaben:
.

Aufgabe 13

Im Ozean werde Öl freigesetzt, welches sich kreisförmig auf der Wasseroberfläche ausbreitet. Der Radius dieses Kreises wachse mit: 2 Meter pro Minute. Wie schnell wächst die Fläche des Ölfilms, wenn dessen Radius: 100 Meter beträgt ?

Aufgabe 14

Zeigen Sie, daß: ( Glockenkurve ) die Differentialgleichung: erfüllt. Existiert die triviale Lösung ? Wie lautet die Lösung für: ? Probe !

Aufgabe 15

Lösen die folgenden Funktionen:

die partielle Differentialgleichung von Laplace: ?

Aufgabe 16

Zeigen Sie mittels Vektormethoden, daß jedes Dreieck, eingeschrieben in einem Halbkreis, ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Aufgabe 17

Wie groß ist der Abstand einer Ebene: E vom Ursprung, gegeben durch die drei Punkte: P1 ( 1, 2, 3 ); P2 ( -2, 3, 1 ) und: P3 ( 1, -1, 1 ) ?

Aufgabe 18

Beweisen Sie mittels Vektormethoden den Satz des Pythagoras !

Aufgabe 19

Gegeben sei: . Geben Sie die Lösung an mit Proben !

Aufgabe 20

Lösen Sie mit Proben ( Kirchhoff in Reihe ):
! Dies stellt eine elektrische Reihenschaltung mit induktivem und ohmschen Widerstand dar.

Aufgabe 21

Gegeben seien: 100 Milligramm ( mg ) einer radioaktiven Substanz, die proportional zu ihrer Masse zerfalle. Nach: 2 Jahren seien 5 Prozent zerfallen. Wie lautet die Differentialgleichung ? Wie groß ist die Substanzmasse nach einer beliebigen Zeit: t ? Wann sind : 10 % der Substanz zerfallen ?

Aufgabe 22

Zeigen Sie mittels Vektormethoden, daß eine Gerade durch die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks parallel zur dritten ist und halb so lang ist wie diese dritte Seite.

Aufgabe 23

Geben Sie den Einheitsvektor orthogonal zu: i + j und: j + k an !

Aufgabe 24

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene in Normalform, in der die beiden Geraden: G1 und: G2 liegen mit:
.

Aufgabe 25

Lösen Sie mit Probe:
!

Aufgabe 26

Geben Sie diejenige Differentialgleichung 1. Ordnung an, für die die Funktion: y(x) = x2 Lösung ist. Probe!

Aufgabe 27

Lösen Sie die exakte Differentialgleichung:
.
Probe!

Aufgabe 28

Gegeben seien im : R² zwei Geraden in Parameterform. Unter welchen Bedingungen schneiden sich die Geraden? Welche anderen Möglichkeiten existieren?

Aufgabe 29

Gegeben ein Dreieck mit den Eckpunkten: A(2;5;0); B(6;3;3) und: C(6;1;4). Ist die Gerade G parallel oder gleich einer der Dreiecksseiten?
.

Aufgabe 30

Schneiden sich im Dreidimensionalen die beiden Geraden oder sind sie windschief? Es ist:.

Aufgabe 31

Gegeben sei: y´+K*y=f(x). Geben Sie über die Integration die allgemeine, die homogene und die inhomogene Lösung mit Proben an, wenn: f1(x)=xn und: f2(x)=cosx ist.

Aufgabe 32

Gegeben sei: y´´−9y=0 und: y(0)=5 und: y´(0)=9. Geben Sie die Lösungen an mit Proben.

Aufgabe 33

Lösen Sie auf zwei verschiedene Weisen: y´´−2y´=0 mit: y(0)=-1 und: y(0,5)=e−2 mit Proben!

Aufgabe 34

Gegeben sei eine Gerade: G und eine Ebene: E. Wie lauten der Schnittpunkt und Schnittwinkel mit:
.

Aufgabe 35

Schneiden sich die gegebenen Geraden des Zweidimensionalen in einem Punkt ?

Aufgabe 36

Wie liegen im Dreidimensionalen diejenigen Punkte, deren Entfernung von zwei gegebenen Punkten jeweils gleich ist?

Aufgabe 37

Lösen Sie mittels Variation der Konstanten die Differentialgleichung: y´+p(x) y=f(x). Probe!

Aufgabe 38

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung: y´+y=x+sinx ! Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Integration und mit Ansatz. Probe!

Aufgabe 39

Gegeben sei die Differentialgleichung: y´−y=x*sinx ! Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Integration und mit Ansatz. Probe!

Aufgabe 40

Welcher Kreis mit dem Radius: R=5 geht durch den Punkt: P(4,6) und berührt die Gerade:

Aufgabe 41

Schneiden sich die gegebenen beiden Kreise? Berechnen Sie ggf. deren Schnittpunkte! Es seien:
.

Aufgabe 42

Geben Sie die Gleichung eines Doppelkegels an, der durch die folgenden Größen definiert sei:

Aufgabe 43

Lösen Sie mit Probe: y´+y=y²!

Aufgabe 44

Lösen Sie mit integrierendem Faktor mit Probe:
!

Aufgabe 45

Geben Sie mit Probe die orthogonalen Trajektorien an von: x*y=C !

Aufgabe 46

Stellen Sie die Fläche dar, gegeben durch:
!

Aufgabe 47

Die Güter: G1 und: G2 werden mit den Maschinen: A, B als Mengen: x1; x2 laut Tabelle produziert ( Z.E. = Zeiteinheiten ). Die Arbeitseinheit betrage: 2.400 Z.E., und der Gewinn sei von: G1 = 3 Euro pro Stück und von: G2 = 4 Euro pro Stück. A laufe pro Arbeitseinheit: 1.200 Z.E., und von: G1 müssen 40 Stück pro Arbeitseinheit hergestellt werden. (Tabelle siehe Aufgabe)

Aufgabe 48

Gesucht ist die grafische Lösung des LOP´s: (siehe Aufgabe)!

Aufgabe 49

Wie lautet die Differentialgleichung und deren Lösung für den mechanisch reibungslosen Fall im Reellen ? Machen Sie die Probe.

Aufgabe 50

Zeigen Sie, daß die Differentialgleichung: y´´(x)+ay´(x)+by(x)=0 gelöst wird durch den angebenen Ausdruck!

Aufgabe 51

Lösen Sie mit Proben: y´´+2y´+5y=0; und: y(0)=1 und: y´(0)=5.

Aufgabe 52

Lösen Sie die Maximierungsaufgabe analytisch!

Aufgabe 53

Mittels des Simplex − Algorithmus ist folgendes Gleichungssystem zu lösen.

Aufgabe 54

Berechnen Sie mittels des Dual − Prinzips das folgende Gleichungssystem.!

Aufgabe 55

Lösen Sie die nachfolgend gegebene Differentialgleichung mit Probe und geben Sie deren Nullstellen an:!

Aufgabe 56

Lösen Sie die nachfolgend gegebene Differentialgleichung und zeigen Sie, daß die Lösungen linear unabhängig sind:.

Aufgabe 57

Berechnen Sie das Verhältnis zweier aufeinander folgender Extremwerte ( Maxima bzw. Minima ) der angegebenen Funktion.

Aufgabe 58

Stellen Sie topografisch über eine Wertetabelle die folgende Funktion im Dreidimensionalen dar:!

Aufgabe 59

Geben Sie im Zweidimensionalen u. a. durch kartesische Koordinaten an, welches Gebilde durch die angegebene Gleichung beschrieben wird.

Aufgabe 60

Was stellt im Dreidimensionalen, ausgedrückt in Kugelkoordinaten dar: r = Konstante ?

Aufgabe 61

Transformieren Sie die Euler − Cauchy − Differentialgleichung in eine andere Art von Differentialgleichung und lösen Sie diese mittels folgendem Ansatz!

Aufgabe 62

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung auf zwei verschiedene Arten!

Aufgabe 63

Wie lautet die Lösung ( + Probe ) der gegeben Differentialgleichung!

Aufgabe 64

Zeichnen Sie über den topografischen Weg die folgende Funktion. Was ist das für ein Gebilde ?

Aufgabe 65

Geben Sie die partiellen Ableitungen: 1. und: 2. Ordnung an von: f(x).

Aufgabe 66

Schreiben Sie in Zylinderkoordinaten um; was stellt dieses Gebilde dar?

Aufgabe 67

Geben Sie die Koeffizienten des inhomogenen Lösungsansatzes für die mechanische Schwingung an, wenn: r(t)=F*cos(w*t) ist !

Aufgabe 68

Berechnen Sie über Integration die Lösung von: y´´+4y=8x² !

Aufgabe 69

Geben Sie mittels Ansatz und Integration die Lösung an von: y´´+4y = sin(x) !

Aufgabe 70

Berechnen Sie für den Kreis:
!

Aufgabe 71

Geben Sie die Steigung: dy/dx an für:
!

Aufgabe 72

Berechnen Sie für die gegebene allgemeine Kurve:
!

Aufgabe 73

Berechnen Sie den Strom: I(t) in Abhängigkeit von der Zeit: t für eine Reihenschaltung, bestehend aus einem Ohmschen Widerstand : R = 100 Ohm; einer Induktivität: L = 0,1 Henry; einer Kapazität: C = 0,001 Farad und mit einer zusätzlichen äußeren Wechselspannungsquelle: U(t)=155*sin(377*t) und einer Ladung: Q(t=0)=0 und einem Strom: I(t=0)=0. Geben Sie die homogene Lösung an.

Aufgabe 74

Berechnen Sie den Strom: I(t) in Abhängigkeit von der Zeit: t für eine Reihenschaltung, bestehend aus einem Ohmschen Widerstand : R = 100 Ohm; einer Induktivität: L = 0,1 Henry; einer Kapazität: C = 0,001 Farad und mit einer zusätzlichen äußeren Wechselspannungsquelle: U(t)=155*sin(377*t) und einer Ladung: Q(t=0)=0 und einem Strom: I(t=0)=0. Geben Sie die allgemeine Lösung an.

Aufgabe 75

Berechnen Sie den Strom: I(t) in Abhängigkeit von der Zeit: t für eine Reihenschaltung, bestehend aus einem Ohmschen Widerstand : R = 100 Ohm; einer Induktivität: L = 0,1 Henry; einer Kapazität: C = 0,001 Farad und mit einer zusätzlichen äußeren Wechselspannungsquelle: U(t)=155*sin(377*t) und einer Ladung: Q(t=0)=0 und einem Strom: I(t=0)=0. Geben Sie die spezielle Lösung an.

Aufgabe 76

Für welche Werte von: "k" hat die Funktion: f(x,y)=x² + k*x*y + 4y² im Punkt: P(0;0) ein Minimum ?

Aufgabe 77

Minimieren Sie: "x*y" für die Punkte des Einheitskreises.

Aufgabe 78

Gegeben sei:

Aufgabe 79

Lösen Sie:
!

Aufgabe 80

Lösen Sie:
!

Aufgabe 81

Lösen die folgenden Funktionen:

die partielle Differentialgleichung von Laplace:?

Aufgabe 82

Berechnen Sie das Dosenproblem = Minimierung der Oberfläche mit den Lagrange − Multiplikatoren !

Aufgabe 83

Geben Sie die Minimierungsgrößen: h und : r der Oberfläche über die Lagrange − Multiplikatoren an!

Aufgabe 84

Geben Sie die Minimierungsgrößen: h und : r mittels Substitution an. Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen.

Aufgabe 85

Lösen Sie exakt: y´ = 2 x y !

Aufgabe 86

Lösen Sie mittels Potenzreihenansatz: y´ = 2 x y !

Aufgabe 87

Lösen Sie analytisch und mittels Potenzreihe: x y´ = 3 y + 3 !

Aufgabe 88

Zeigen Sie für:
,
daß sich mit einer ersten Integration über: dy ebenfalls ein Volumenwert von: V = 3 Volumeneinheiten errechnet.

Aufgabe 89

Zeigen Sie, daß gilt:
!

Aufgabe 90

Zeigen Sie, daß:.