André Goldschmidt ; Jens HartwigSeminargruppe: B1

Beispiel zur Anwendung von arithmetischen
Reihen und Folgen

Rücksprung zur Übersicht "Praktikum"
Rücksprung zur Homepage-Seite

Zur Themenübersicht

Legende:
l
Hauptüberschrift
m
Teilüberschriften
?
Definition
Ã
Bildungsgesetze
F
Erläuterungen
G
Beispiel – Aufgabe
Ö
Antwortsatz
 

Themenübersicht:

1.    Arithmetische Folgen und Reihen
1.1  Arithmetische Folge
1.2  Arithmetische Reihe
1.3  Lösung der Beispiel-Aufgabe arithmetische Folgen und Reihen
 

Zurück zum Seitenanfang

Anhang:

1.Arithmetische Folgen und Reihen l
 

Aufgabe G :

Bei einer Bohrung wird am ersten Tag eine Tiefe von 84 m erreicht. An jedem weiteren Tag werden 4 m weniger gebohrt als am Tag zuvor. Wie tief ist die größte erreichbare Tiefe? Am Abend des wievielten Tages ist eine Tiefe von 900 m erreicht? Zur Lösung
 

1.1 arithmetische Folge m
 Definition? :

Eine arithmetische Folge ist eine Folge {an} für die gilt:
Die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern ist konstant = d.

Wobei an als Glieder der Zahlenfolge, a1 als Anfangsglied und d als Differenz bezeichnet werden.

F Dies sind drei aufeinanderfolgende Glieder:
 

 Bildungsgesetze à :
 



Zurück zum Seitenanfang

Zurück zur Themenübersicht

 

1.2 arithmetische Reihe m
 

Definition ? :

Eine arithmetische Reihe ist eine Reihe, deren Glieder den Gesetzten einer arithmetischen Folge gehorchen.

Die Summe der ersten n Glieder einer Zahlenfolge {an} heißen n-te Partialsumme.


 Bildungsgesetze à :
 


 

F n-te Partialsumme arithmetischen Reihe:

Zurück zum Seitenanfang

Zurück zur Themenübersicht

 

1.3 Lösung der Beispiel-Aufgabe arithmetische Folgen und Reihen G :

gegeben:

F Die an geben in dieser Aufgabe darüber Auskunft, wieviel Meter an jedem Tag gebohrt werden können. Wenn am ersten Tag a1 = 84 m gebohrt werden, heißt das, daß am zweiten Tag nur noch a2 = 80 m (84 - 4) gebohrt werden...
 



S= 900

gesucht:  

F Sn ist die maximal erreichbare Tiefe. Um diese ermitteln zu können, müssen wir jedoch zuerst feststellen, nach wieviel
n - Tagen die Bohrung nur noch an = 0 m beträgt.
Im zweiten Teil der Aufgabe ist Sn bereits mit 900 m gegeben. Wir versuchen also den Tag n, an dem diese Tiefe erreicht wird.
 

Lösung:  

F Ermittlung des Tages n, an dem die maximale Tiefe erreicht wird:

Ö 22 Tage muß gebohrt werden.
 

F Nun müssen wir die Bohrergebnisse an der ersten n = 22 Tage addieren (22-ste Partialsumme) und erhalten die maximale Tiefe:

Ö Die größte erreichbare Tiefe ist 924 m.
 

 

F Für die Berechnung des Tages n, an dem eine Tiefe von Sn = 900m erreicht wird, setzen wir die gegebenen Werte:

Sn; a1 = 84 ... Anfangsglied; d = -4 ... Differenz zweier benachbarter Glieder in die Gleichung zur Berechnung der Partialsumme einer arithmetischen Reihe ein und stellen diese wie folgt um:
 


F Dieser Wert entfällt als Ergebnis, da wir zuvor bereits ermittelt haben, daß die maximale Tiefe bereits nach 22 Tagen erreicht ist.
 

Ö Nach 18 Tagen werden 900 m - Bohrtiefe erreicht.
 

Zurück zum Seitenanfang

Zurück zur Themenübersicht


Anhang:
 

Quellen:
 
 

"Mathematik" Füssel, Jansen, Schwermann
Stam - Verlag München-Köln
8. Auflage
S. 152 ff.
"Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler"
 Buch1: "Grundlagen"
Prof. Dr. Jochen Schwarze
Verlag Neue Wirtschafts-Briefe Herne / Berlin
10. Auflage
S. 165 ff.

Zurück zum Seitenanfang

Zurück zur Themenübersicht
Rücksprung zur Übersicht "Praktikum"
Rücksprung zur Homepage-Seite